zhèxiē kànshàngqù kěnéng zhǐshì yīduī páiliè zhěngqí de shùzì ，

这些看上去 可能只是一堆排列整齐的数字，

shíjìshàng ， tā kěshì yígè shùxué de bǎozàng 。

实际上，它可是一个数学的宝藏。

yìndù shùxuéjiā chēng tā wèi " xūmíshān zhītī " 。

印度数学家称它为"须弥山之梯"。

zài yīlǎng ， tā shì " hǎiyàmǔ sānjiǎo " 。

在伊朗，它是"海亚姆三角"。

ér zài zhōngguó ， tā bèi chēngwéi " yánghuīsānjiǎo " 。

而在中国，它被称为"杨辉三角"。

zài dàbùfèn xīfāng guójiā ， tā jiào ” pàsīkǎ sānjiǎo “ 。

在大部分西方国家， 它叫”帕斯卡三角“。

démíng yú fǎguó shùxuéjiā , bùláisī · pàsīkǎ 。

得名于法国数学家, 布莱斯 ·帕斯卡。

zhè sìhū yǒudiǎn bùtài gōngpíng 。

这似乎有点不太公平。

yīnwèi pàsīkǎ de fāxiàn bǐ qítārén gèng wǎn ，

因为帕斯卡的发现比其他人更晚，

dàn pàsīkǎ yě duìcǐ zuòchū le xǔduō gòngxiàn 。

但帕斯卡也对此做出了许多贡献。

nàme ， shì shénme ràng shìjiègèdì de shùxuéjiā men duì tā rúcǐ gǎnxìngqù ？

那么，是什么让世界各地的 数学家们对它如此感兴趣？

jiǎndān dìshuō ， tā chōngmǎn le gèzhǒng xíngshì hé mìmì 。

简单地说，它充满了各种形式和秘密。

shǒuxiān ， zhèshì gòuzào sānjiǎo de xíngshì 。

首先，这是构造三角的形式。

cóng 1 kāishǐ ， bìng jiǎshè liǎngbiān gèyǒu yígè kànbújiàn de 0 ，

从 1 开始， 并假设两边各有一个看不见的 0，

bǎ xiānglín de shùzì jiā qǐlái ， nǐ jiù huì dédào xià yīxíng 。

把相邻的数字加起来， 你就会得到下一行。

xiànzài ， chóngfù zhèyàng de cāozuò ，

现在，重复这样的操作，

fǎnfù jìnxíng ， nǐ zuìzhōng huì dédào zhèyàng yígè túxíng 。

反复进行， 你最终会得到这样一个图形。

shíjìshàng ， pàsīkǎ sānjiǎo shì wúxiàndà de 。

实际上，帕斯卡三角是无限大的。

tā měi yīxíng de shùzì dōu duìyìng ( x + y ) ^ n èrxiàngshì zhǎnkāi de xìshù ，

它每一行的数字都对应 (x+y)^n 二项式展开的系数，

qízhōng n shì xíng de xùhào ，

其中 n 是行的序号，

cóng 0 kāishǐ suàn 。

从 0 开始算。

dāng n = 2 shí ， èrxiàngshì zhǎnkāi nǐ huì dédào

当 n=2时， 二项式展开你会得到

x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 。

x^2 + 2xy + y^2。

nàxiē xìshù ， jiùshì měiyīxiàng biànliàng qián de shùzì ，

那些系数，就是每一项变量前的数字，

hé pàsīkǎ sānjiǎo duìyìng xíng de shùzì xiāngtóng 。

和帕斯卡三角对应行的数字相同。

n = 3 yě shì yīyàng ， zhǎnkāi dédào zhège 。

n=3 也是一样，展开得到这个。

suǒyǐ ， zhège sānjiǎo néng ràng wǒmen kuàisù dédào èrxiàngshì de xìshù 。

所以，这个三角能让我们 快速得到二项式的系数。

ránér ， àomì yuǎnyuǎn bùzhǐ zhèxiē 。

然而，奥秘远远不止这些。

bǐrúshuō ， bǎ měi yīxíng de shùzì jiā qǐlái ，

比如说，把每一行的数字加起来，

nǐ huì dédào liánxù de 2 de cìfāng 。

你会得到连续的2的次方。

huòzhě zài mǒu yīxíng ， bǎ měi yígè shùzì dàngchéng shíjìnzhì de yībùfèn 。

或者在某一行，把每一个数字 当成十进制的一部分。

huànjùhuàshuō ， dìèrxíng shì ( 1x1 ) + ( 2x10 ) + ( 1x100 ) ，

换句话说，第二行是 (1x1) + (2x10) + (1x100)，

nǐ huì dédào 121 ， yě jiùshì 11 ^ 2 。

你会得到 121，也就是 11^2。

nàme ， tónglǐ dào dìliù xíng ， kànkàn huì fāshēng shénme 。

那么，同理到第六行，看看会发生什么。

zǒnghé shì 1 , 771 , 561 ， yě jiùshì 11 ^ 6 ， qítā yě yīyàng 。

总和是 1,771,561， 也就是 11^6，其他也一样。

chúcǐzhīwài ， yě yǒu yīxiē jǐhé de yìngyòng 。

除此之外，也有一些几何的应用。

kànkàn nàxiē duìjiǎoxiàn ，

看看那些对角线，

kāitóu liǎngtiáo bìng búshì hěn yǒuqù ， quándōu shì 1 。

开头两条并不是很有趣，全都是 1。

jiēxiàlái shì zhèngzhěngshù ， yě bèi chēngwéi zìránshù 。

接下来是正整数，也被称为自然数。

ér xià yītiáo duìjiǎoxiàn de shùzì ， zé bèi chēngwéi sānjiǎo shù 。

而下一条对角线的数字，则被称为三角数。

yīnwèi rúguǒ nǐ yòng nàxiē shùliàng de diǎn ，

因为如果你用那些数量的点，

kěyǐ bǎ tāmen duīchéng děng biān sānjiǎoxíng 。

可以把它们堆成等边三角形。

xià yītiáo duìjiǎoxiàn shì sìmiàntǐ shù 。

下一条对角线是四面体数。

tónglǐ ， nǐ kěyǐ bǎ nàxiē qiú duīchéng sìmiàntǐ 。

同理，你可以把那些球堆成四面体。

huòzhě zhèyàng ︰ bǎ suǒyǒu de jīshù huàshàng yīnyǐng ，

或者这样︰ 把所有的奇数画上阴影，

dāng sānjiǎoxíng hái xiǎo ， nǐ hái kànbùchū shénme 。

当三角形还小，你还看不出什么。

bùguò rúguǒ nǐ jiāshàng chéngqiānshàngwàn xíng ，

不过如果你加上成千上万行，

nǐ huì dédào yígè fēnxíng ， yě jiùshì xièěrbīn sījī sānjiǎoxíng 。

你会得到一个分形， 也就是谢尔宾斯基三角形。

zhège sānjiǎoxíng bùjǐn shì yígè shùxué de yìshùpǐn ，

这个三角形不仅是一个数学的艺术品，

tā hái hěn yǒuyòng ，

它还很有用，

yóuqí shì zài zǔhé xuézhōng de gàilǜ jìsuàn zhōng 。

尤其是在组合学中的概率计算中。

jiǎshè ， nǐ xiǎngyào wǔgè xiǎohái ,

假设，你想要五个小孩,

nǐ xiǎngyào zhīdào

你想要知道

yōngyǒu sāngè nǚhái hé liǎnggè nánhái zhèyàng lǐxiǎng jiātíng de gàilǜ shì duōshǎo 。

拥有三个女孩和两个男孩 这样理想家庭的概率是多少。

zài èrxiàng zhǎnkāishì zhōng ，

在二项展开式中，

tā duìyìng de jiùshì nǚhái jiā nánhái de wǔcì fāng 。

它对应的就是女孩加男孩的五次方。

suǒyǐ wǒmen kàn dìwǔ xíng ，

所以我们看第五行，

dìyígè shùzì dàibiǎo wǔgè nǚhái de kěnéngxìng ，

第一个数字代表五个女孩的可能性，

zuìhòu yígè shùzì dàibiǎo wǔgè nánhái de kěnéngxìng 。

最后一个数字代表五个男孩的可能性。

dìsāngè shùzì jiùshì wǒmen yào zhǎo de 。

第三个数字就是我们要找的。

zhè yīxíng suǒyǒu kěnéngxìng de zǒnghé fēn zhī 10 ，

这一行所有可能性的总和分之10，

nà jiù dédào 10 / 32 ， huòzhě 31.25% 。

那就得到 10/32，或者31.25%。

zàizhě ， rúguǒ nǐ cóng shíèrgè péngyǒu zhōng

再者，如果你从十二个朋友中

suíjī xuǎnchū 5 rén zǔchéng yígè lánqiúduì ，

随机选出5人组成一个篮球队，

yīgòng kěnéng yǒu duōshǎo zhǒngwǔrén zǔhé ne ？

一共可能有多少种五人组合呢？

cóng zǔhé xuéshàng kàn ， zhège wèntí kěyǐ kànchéng shìcóng 12 zhōng tiāo 5 ，

从组合学上看， 这个问题可以看成是从12中挑5，

bìng kěyǐ yòng zhège gōngshì jìsuàn ，

并可以用这个公式计算，

huòzhě nǐ kěyǐ zhǎodào zhège sānjiǎoxíng de dìshíèr xíng dìliùxiàng ，

或者你可以找到这个三角形的 第十二行第六项，

jiùshì nǐ yào de dáàn 。

就是你要的答案。

pàsīkǎ sānjiǎo de zhūduō xíngshì ，

帕斯卡三角的诸多形式，

shì shùxué yuánsù yōuměi jiāozhī de zhèngmíng 。

是数学元素优美交织的证明。

dào xiànzài ， tā réngrán jiēshì zhe xīn mìmì 。

到现在，它仍然揭示着新秘密。

lìrú ， shùxuéjiā zuìjìn fāxiàn le

例如，数学家最近发现了

yígè zhǎnkāi zhèzhǒng duōxiàngshì de fāngfǎ 。

一个展开这种多项式的方法。

jiēxiàlái wǒmen hái kěnéng fāxiàn shénme ？

接下来我们还可能发现什么？

zhè jiù kàn nǐ le 。

这就看你了。